Los puntos de Lagrange: en busca del equilibrio

El problema de los tres cuerpos, que estudia el movimiento de tres objetos en el espacio que interactúan mediante la gravedad, ha sido uno de los problemas más estudiados de la Física moderna. A diferencia del problema de dos cuerpos, que tiene fácil solución, el de los tres cuerpos no puede resolverse mediante fórmulas o expresiones equivalentes, siendo el movimiento de los cuerpos complejo. Sin embargo, en una versión simplificada del problema se puede encontrar una serie de soluciones singulares de gran interés: los puntos de Lagrange. Desde su descubrimiento, estos puntos han sido objeto de intenso estudio, y han sido aprovechados por múltiples misiones espaciales.

Retrato de Joseph Louis Lagrange
Retrato de Joseph Louis Lagrange

Aunque el problema de los tres cuerpos no pudiera ser analizado en su forma más general, muchos científicos lo estudiaron simplificándolo. Un famoso ejemplo, formulado en el siglo XVIII, es el problema de los tres cuerpos restringido: en este caso, dos de los cuerpos tienen una masa mucho mayor que el tercero, y no están afectados por la gravedad de éste. Se pueden realizar más simplificaciones, como asumir que uno de los cuerpos mayores es fijo y el otro lo orbita en movimiento circular. Un ejemplo de este sistema lo formarían el Sol, un planeta y un cuerpo más pequeño, como un asteroide.

Este caso simplificado, en general, tampoco puede resolverse: el cuerpo menor tendría un movimiento caótico (en un sentido matemático, que implica dificultad de predicción y gran sensibilidad a perturbaciones externas). Sin embargo, existen cinco posiciones en las que este cuerpo se encontraría en un equilibrio de fuerzas, describiendo órbitas circulares en torno al cuerpo mayor. Estas posiciones son llamadas puntos de Lagrange, en honor al científico francés Joseph-Louis Lagrange, y se denominan respectivamente L1, L2, L3, L4 y L5. Los primeros tres puntos fueron descubiertos por Leonhard Euler en 1760, mientras que Lagrange descubrió los otros dos en 1772.

Tres de los puntos de Lagrange se encuentran alineados con los dos cuerpos mayores: L1 se halla entre ambos cuerpos, donde las fuerzas gravitatorias se anulan entre sí, mientras que L2 y L3 se sitúan detrás de cada uno de los objetos mayores, donde la gravedad de éstos se contrarresta con la fuerza centrífuga del movimiento circular. El equilibrio en estos tres puntos es inestable, ya que si un objeto orbitando en uno de ellos se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio no vuelve a ésta y comienza a describir un movimiento caótico. Los puntos L4 y L5 se encuentran en otra posición: cada uno se sitúa a igual distancia de los cuerpos mayores, formando con éstos un triángulo equilátero. L4 y L5 son, en la mayoría de casos, posiciones estables: al separarse de la posición de equilibrio, un cuerpo tendería a volver a esta última, alcanzando nuevamente el equilibrio.

Puntos de Lagrange del Sistema Tierra-Luna. Las líneas blancas representan zonas con el mismo potencial gravitatorio. Fuente: Wikimedia Commons
Puntos de Lagrange del Sistema Tierra-Luna. Las líneas blancas representan zonas con el mismo potencial gravitatorio. Las flechas indican direcciones de crecimiento o decrecimiento de este. Fuente: Wikimedia Commons

La naturaleza estable de los puntos L4 y L5 provoca que en ellos se encuentren muchos objetos celestes, aunque las situaciones reales son algo más complejas que las del problema ideal y los “puntos” son en realidad regiones estables. Los más conocidos de estos objetos se encuentran en los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter, los llamados asteroides troyanos. Nombrados según personajes de la literatura homérica (Aquiles, Héctor, Odiseo…), más de un millón de estos astros habitan las regiones cercanas a los puntos de equilibrio, orbitando el Sol al mismo ritmo que Júpiter. Aunque el punto L3 es inestable, hay una familia de asteroides en este sistema cerca de él, los llamados asteroides Hilda. Otros sistemas también tienen sus troyanos: varios planetas cuentan con algún asteroide rondando L4 o L5, y en el sistema Tierra-Luna hay nubes de polvo cerca de estos puntos. Las interacciones entre algunos satélites de Saturno son comparables a estos casos, aunque más complicadas de describir.

Esquema del Sistema Solar Interior. En verde, los asteroides troyanos y griegos. Fuente: Wikimedia Commons
Esquema del Sistema Solar Interior. En verde, los asteroides troyanos y griegos de Júpiter. Fuente: Wikimedia Commons

En los puntos L1 y L2 no se encuentra ningún cuerpo natural, ya que son inestables (aunque el comportamiento de los sistemas de estrellas binarias guarda relación con ellos). A pesar de ello, estos puntos han sido de gran utilidad en la exploración espacial, sobre todo los de los sistema Sol-Tierra y Tierra-Luna, donde han tenido lugar hasta hoy 13 misiones. Dada la inestabilidad de las posiciones de equilibrio, las naves que se dirigen a estos puntos deben realizar complejas maniobras de estabilización, como las órbitas halo o las de Lissajous. Llegar hasta ellas tampoco es sencillo, ya que se requieren complicados movimientos orbitales para alcanzar el objetivo.

Gran Nube de Magallanes en infrarrojo, fotografiada por el telescopio espacial Herschel, situado en el punto L2 del sistema Sol-Tierra. Fuente: NASA
Gran Nube de Magallanes en infrarrojo. Fotografía tomada por el telescopio espacial Herschel, situado en el punto L2 del sistema Sol-Tierra. Fuente: NASA

Al punto L1 del sistema Sol-Tierra se han enviado sondas para estudiar el Sol y el viento solar, tales como SOHO, ACE y DSCOVR. La adición más reciente a este grupo es LISA Pathfinder, una misión que validará tecnologías para la futura misión LISA, destinada a detectar ondas gravitacionales. En el punto L2, donde parte de la luz del Sol queda bloqueada por nuestro planeta, se sitúan sondas que exploran el espacio profundo, como WMAP, Planck, Herschel y Gaia. En el sistema Tierra-Luna se han enviado dos misiones a los puntos de Lagrange, ambas exitosas.

En el futuro diversas misiones, ya programadas, visitarán los puntos de Lagrange. La más próxima es la misión James Webb, destinada a la búsqueda de exoplanetas, que comenzará en 2018, y ATHENA, la más tardía, está planeada para 2028. Otras misiones planean visitar los puntos de Lagrange del sistema Sol-Venus, o incluso emplear estas posiciones para maniobras en trayectorias interplanetarias. Sin duda, los puntos de Lagrange servirán de gran ayuda en los próximos años, contribuyendo así al desarrollo de la exploración espacial.

Fuentes: NASA, ESA, Le problême des trois corps (J.L. Lagrange)

Imagen de portada: Representación artística de los asteroides troyanos de Júpiter. El análisis de su espectro indica que tienen un color rojizo

Diego Ortega

Diego Ortega

Dirección en Empíricamente Cierto
Estudiante de Ingeniería Aeroespacial. Aficionado desde que tengo uso de razón al Mundo Natural y a las Ciencias que lo estudian, así como a la Historia y la Fotografía. "Las mejores soluciones se encuentran en la Naturaleza. Sólo tenemos que aprender de ella".
Diego Ortega

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Estudiante de Ingeniería Aeroespacial. Aficionado desde que tengo uso de razón al Mundo Natural y a las Ciencias que lo estudian, así como a la Historia y la Fotografía. "Las mejores soluciones se encuentran en la Naturaleza. Sólo tenemos que aprender de ella".